第一次见到这个词是在 zkw 线段树的课件里见到的。

(资料图片)

标记永久化可以避免下传懒惰标记，只需在进行询问时把标记的影响加到答案当中，从而降低程序常数。

洛谷的模板题也证明，确实是小常数。这三次提交都是递归写法，如果搭配 zkw 线段树，应该会跑得更快。

我们在讲懒标向下递归的过程中，如果当前区间正好等于查询区间，那就直接改懒标和数值，倘若当前区间包含查询区间但不与查询区间相等，那我们只修改值，这些操作与线段树修改操作很像。

inline void modify(int u, int l, int r, int lr, int rr, ll c) {t[u].val += (rr - lr + 1) * c;if (lr == l && r == rr) {t[u].laz += c;return ;}if (rr <= mid)modify(ls, l, mid, lr, rr, c);else if (lr > mid)modify(rs, mid + 1, r, lr, rr, c);else {modify(ls, l, mid, lr, mid, c);modify(rs, mid + 1, r, mid + 1, rr, c);}}

需要注意的是，如果查询的区间横跨左右两个孩子区间，那我们需要将查询区间也从 mid处分开。

设置好懒标，查询时该如何处理懒标呢？按照一般的写法，在向下递归时，我们还要用递归把懒标也一起向下传递，而标记永久化则是舍弃了向下传递懒标这个操作，我们在查询时设置一个值，用它来记录沿路的懒标，最后一起统计即可。为什么要记录沿路的懒标呢？如果包含该区间的大区间被打上了懒标，则说明这一整个大区间都受到这个懒标的影响，所以把它记录下来。

inline ll query(int u, int l, int r, int lr, int rr, ll add) {if (lr == l && r == rr) {return t[u].val + add * t[u].len;}ll sum = 0;if (rr <= mid) {sum = query(ls, l, mid, lr, rr, add + t[u].laz);}else if (lr > mid) {sum = query(rs, mid + 1, r, lr, rr, add + t[u].laz);}else {sum = query(ls, l, mid, lr, mid, add + t[u].laz) + query(rs, mid + 1, r, mid + 1, rr, add + t[u].laz);}return sum;}

最后处理答案时，就是将懒标的和乘上这个区间的长度，add记录的是懒标和，可以将这个 add看作是对于这个区间的每个元素一共要增加的值。

好处：

坏处：

总归来说，对于一般的线段树，递归写法就足够了，标记永久化用的较少，对于线段树套线段树这样的应该会用的比较多。

【模板】线段树 1

#include using namespace std;typedef long long ll;#define ls (u << 1)#define rs (u << 1 | 1)#define mid ((l + r) >> 1)const int N = 1e5 + 5;int n, m;struct seg_tree {int len;ll val, laz;} t[N << 2];inline void build(int u, int l, int r) {t[u].len = r - l + 1, t[u].laz = 0;if (l == r) {cin >> t[u].val;return ;}build(ls, l, mid);build(rs, mid + 1, r);t[u].val = t[ls].val + t[rs].val;}inline void modify(int u, int l, int r, int lr, int rr, ll c) {t[u].val += (rr - lr + 1) * c;if (lr == l && r == rr) {t[u].laz += c;return ;}if (rr <= mid)modify(ls, l, mid, lr, rr, c);else if (lr > mid)modify(rs, mid + 1, r, lr, rr, c);else {modify(ls, l, mid, lr, mid, c);modify(rs, mid + 1, r, mid + 1, rr, c);}}inline ll query(int u, int l, int r, int lr, int rr, ll add) {if (lr == l && r == rr) {return t[u].val + add * t[u].len;}ll sum = 0;if (rr <= mid) {sum = query(ls, l, mid, lr, rr, add + t[u].laz);}else if (lr > mid) {sum = query(rs, mid + 1, r, lr, rr, add + t[u].laz);}else {sum = query(ls, l, mid, lr, mid, add + t[u].laz) + query(rs, mid + 1, r, mid + 1, rr, add + t[u].laz);}return sum;}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0), cout.tie(0);cin >> n >> m;build(1, 1, n);for (int i = 1, op, x, y; i <= m; ++ i) {cin >> op >> x >> y;if (op == 1) {ll k;cin >> k;modify(1, 1, n, x, y, k);}else {cout << query(1, 1, n, x, y, 0) << "\n";}}return 0;}